Question

設(shè)函數(shù)f(x)=cos2ωx+

3

sinωxcosωx+a（其中ω＞0，a∈R）．且f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)是

π

3

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值為

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f(x)=cos2ωx+

3

sinωxcosωx+a，利用二倍角公式和輔助角公式，我們易將函數(shù)的解析式化簡成正弦型函數(shù)的形式，再由f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)是

π

3

．構(gòu)造關(guān)于ω的方程，解方程即可求出ω的值；
（Ⅱ）根據(jù)（I）中結(jié)論，我們易分析出f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

5π

6

]上的單調(diào)性，結(jié)合f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值為

3

，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可求出a的值．

解答：解：（I）f(x)=cos2ωx+

3

sinωxcosωx+a=

1+cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

+a
=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

+a------3分　　　
依題意得．2ω•

π

3

+

π

6

=

π

2

2ω•

π

6

+

π

3

=

π

2

?ω=

1

2

-------------------5分　
（II）由（I）知，f(x)=sin(x+

π

3

)+

3

2

+α

π

6

）+

1

2

+a．
又當(dāng)x∈[-

π

3

，

5π

6

] 時，x+

π

6

∈[-

π

6

，π]-

π

6

　　　　sinx∈[-

1

2

，1]，
從而f（x） 在區(qū)間[-

π

3

，

5π

6

] 上的最小值為

3

=-

1

2

+

1

2

+a，故a=

3

點評：本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的解析式的求法，正弦函數(shù)的最值，其中熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)與解析式中各參數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．