在△ABC中,4sinB•sin2
π
4
+
π
2
)+cos2B=1+
3

(1)求角B的大;(2)若a=4,cosC=sinB,求△ABC的面積.
分析:(1)把已知等式左邊第一項的第二個因式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,第二項也利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,去括號合并后,得出sinB的值,由B為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù);
(2)由(1)求得的B的度數(shù),得出sinB的值,進而由cosC=sinB得到cosC的值,可得出C的度數(shù),若B=
π
3
時,得到此時三角形為直角三角形,由30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可得出c與b的值,利用兩直角邊乘積的一半即可求出三角形ABC的面積;若B=
3
時,此時三角形為等腰三角形,作出底邊AC上的高BD,根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得出高BD的長,再根據(jù)勾股定理及三線合一性質(zhì)得到AC的長,利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積.
解答:解:(1)由4sinB•sin2
π
4
+
π
2
)+cos2B=1+
3
得:
2sinB•[1-cos(
π
2
+B)]+1-2sin2B=1+
3

∴sinB=
1
2
,又∵B是△ABC的內(nèi)角,
∴B=
π
3
或B=
3
;
(2)∵cosC=sinB,∴cosC=
3
2
,∴C=
π
6
,
若B=
π
3
時,則△ABC為直角三角形,又a=4,

∴c=
1
2
a=2,b=2
3
,
∴S△ABC=
1
2
bc=2
3

若B=
3
時,則△ABC為等腰三角形,又a=4,
過B作BD⊥AC,垂足為D,
∴BD=asin30°=2,
∴CD=2
3
,即AC=2DC=4
3
,

∴S△ABC=
1
2
AC•BD=4
3

綜上所述:△ABC的面積為2
3
或4
3
點評:此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,根據(jù)B的度數(shù)有兩解,可得三角形形狀有兩種,學生做題時要借助圖形來求解,注意不要漏解.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,A,B,C是其三個內(nèi)角,設(shè)f(B)=4sinB•cos2(
π
4
-
B
2
)+cos2B
.當f(B)-m<2恒成立時,實數(shù)m的取值范圍是
(1,+∞)
(1,+∞)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

有下列命題:
①在函數(shù)y=cos(x-
π
4
)cos(x+
π
4
)的圖象中,相鄰兩個對稱中心的距離為π;
②函數(shù)y=
x+3
x-1
的圖象關(guān)于點(-1,1)對稱;
③關(guān)于x的方程ax2-2ax-1=0有且僅有一個實數(shù)根,則實數(shù)a=-1;
④已知命題p:對任意的x∈R,都有sinx≤1,則¬p是:存在x∈R,使得sinx>1;
⑤在△ABC中,若3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,則角C等于30°或150°.
其中所有真命題的序號是
③④
③④

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,a,b,c依次是角A,B,C所對的邊,且4sinB•sin2(
π
4
+
B
2
)+cos2B=1+
3

(1)求角B的度數(shù);
(2)若B為銳角,a=4,sinC=
1
2
sinB
,求邊c的長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

在△ABC中,4sinB•sin2數(shù)學公式+數(shù)學公式)+cos2B=1+數(shù)學公式
(1)求角B的大;(2)若a=4,cosC=sinB,求△ABC的面積.

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