Question

【題目】（本小題滿分12分）

如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且， .

（I）求證：平面 平面；

（II）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）證明：見(jiàn)解析

（II）二面角的余弦值為

【解析】本試題主要考查了面面垂直和二面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）根據(jù)已知條件找到線面垂直，然后利用面面垂直的判定定理得到其證明。

（2）合理的建立空間直角坐標(biāo)系，然后表示出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，借助于平面的法向量，得到向量的夾角，從而得到二面角的平面角的大小。

（I）證明：取的中點(diǎn)，連接

為等腰直角三角形

……………………………………2分

又

是等邊三角形

，又

， …………………………4分

，又

平面 平面;……………………………………6分

（II）以中點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸,所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則

……………………8分

設(shè)平面的法向量

，即，解得，

設(shè)平面的法向量

，即，解得，

…………………………………………………………10分

所以二面角的余弦值為…………………………12分