(07年四川卷理)(12分)如圖,是直角梯形,∠=90°,=1,=2,又=1,∠=120°,,直線與直線所成的角為60°.

 

(Ⅰ)求證:平面⊥平面;

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)求三棱錐的體積.

本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關知識,考察思維能力和空間想象能力、應用向量知識解決數(shù)學問題的能力、化歸轉化能力和推理運算能力。

解析:解法一:

(Ⅰ)∵

,

又∵

(Ⅱ)取的中點,則,連結

 

,∴,從而

,交的延長線于,連結,則由三垂線定理知,

從而為二面角的平面角

直線與直線所成的角為

中,由余弦定理得

中,

中,

中,

故二面角的平面角大小為

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,為正方形

解法二:(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)在平面內,過,建立空間直角坐標系(如圖)

由題意有,設

由直線與直線所成的解為,得

,即,解得

,設平面的一個法向量為,

,取,得

平面的法向量取為

所成的角為,則

顯然,二面角的平面角為銳角,

故二面角的平面角大小為

(Ⅲ)取平面的法向量取為,則點A到平面的距離

,∴

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(07年四川卷理)(12分)如圖,是直角梯形,∠=90°,,=1,=2,又=1,∠=120°,,直線與直線所成的角為60°.

 

(Ⅰ)求證:平面⊥平面;

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)求三棱錐的體積.

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