Question

下列命題中正確的有________．（填上所有正確命題的序號）
①若f'（x₀）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀取得極值；
②若∫_a^bf（x）dx＞0，則f（x）＞0在[a，b]上恒成立；
③已知函數(shù)f（x）=，則∫₀¹f（x）dx的值為；
④一質(zhì)點(diǎn)在直線上以速度v=t²-4t+3（m/s）運(yùn)動，從時(shí)刻t=0（s）到t=4（s）時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的位移為（m）

Answer 1

③④
分析：根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合舉反例得到①是錯誤的；根據(jù)積分的含義和有關(guān)公式，通過舉出反例得到②是錯誤的；利用換元積分的方法，根據(jù)有關(guān)積分公式結(jié)合三角換元，計(jì)算得到③是正確的；根據(jù)積分的物理意義，質(zhì)點(diǎn)的位移應(yīng)該等于速度函數(shù)在某個時(shí)間段上的積分的值，利用積分公式可以通過計(jì)算，得到④是正確的．
解答：對于①，若f'（x₀）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀不一定取得極值，
比如函數(shù)f（x）=x³，它的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=3x²，在x=0處滿足f'（0）=0，
但函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，在x=0處不能取得極值，故①錯誤；
對于②，若∫_a^bf（x）dx＞0，則f（x）＞0在[a，b]上不一定恒成立，
比如f（x）=x，∫_-1²f（x）dx==，其中c為常數(shù)，
滿足∫_-1²f（x）dx＞0，但f（x）在[-1，2]上有正有負(fù)，故②錯誤；
對于③已知函數(shù)f（x）==
令x-1=cosα，則x=1+cosα，
其中≤α≤π，x=0對應(yīng)α=π，x=1對應(yīng)α=
∴∫₀¹f（x）dx=
=
=，其中c為常數(shù)，
所以∫₀¹f（x）dx的值為，故③正確；
對于④，一質(zhì)點(diǎn)在直線上以速度v=t²-4t+3（m/s）運(yùn)動，
從時(shí)刻t=0（s）到t=4（s）時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的位移等于：
∫₀⁴v（t）dt=
==，其中c為常數(shù)，
從時(shí)刻t=0（s）到t=4（s）時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的位移為（m），故④正確．
故答案為：③④
點(diǎn)評：本題借助于命題真假的判斷與應(yīng)用，著重考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值之間的關(guān)系、積分的有關(guān)公式和積分的物理意義等知識點(diǎn)，屬于中檔題．