Question

（2011•許昌一模）在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M、N分別為AB、SB的中點．
（Ⅰ）證明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐N-BCM的體積．

Answer 1

分析：（I）證明SO⊥BO，建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，利用向量數量積公式，可得結論；
（II）求出平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結論；
（III）求出N到平面ABC的距離，即可求三棱錐N-BCM的體積．

解答：（Ⅰ）證明：取AC中點O，連結OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥面ABC，
∴SO⊥BO．
如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz．
則A(2，0，0)，B(0，2

3

，0)，C（-2，0，0），S(0，0，2

2

)，M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)．
∴

AC

=(-4，0，0)

SB

=(0，2

3

，-2

2

)，
∵

AC

•

SB

=(-4，0，0)•(0，2

3

，-2

2

)=0，
∴AC⊥SB．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)，
設

n

=(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則

CM

•

n

=3x+

3

y=0，

MN

•

n

=-x+

2

z=0，所以可取

n

=(

2

，-

6

，1)．又

OS

=(0，0，2

2

)為平面ABC的一個法向量，
∴cos(

n

•

OS

)=

n • OS

| n |•| OS |

=

1

3

，
∴二面角N-CM-B的余弦值為

1

3

．     （9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）（Ⅱ）知OS=2

2

，∴N到平面ABC的距離為

1

2

OS=

2

，
而△CBM的面積為

1

2

×

3

4

×42=2

3

，
∴三棱錐N-BCM的體積為VN-BCM=

1

3

×2

3

×

2

=

2 6

3

．       （12分）

點評：本題考查面面角，考查三棱錐體積的計算，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．