Question

（難圖象與性質）已知函數(shù)f（x）=2

3

sin（2ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））的圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離為

π

2

，且點(-

π

4

，0)是它的一個對稱中心．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若f（ax）（a＞0）在(0，

π

3

)上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題函數(shù)f(x)=2

3

sin(2ωx+φ)(ω＞0，φ∈(0，π))的圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離為

π

2

可得周期是π，由此可求得ω=1，點(-

π

4

，0)是它的一個對稱中心，可知(-

π

4

，0)在其圖象上．代入可求得φ
（2）當x∈(0，

π

3

)時，有ax∈（0，π）即可．

解答：解：（1）由題意得f（x）的最小正周期為π，∴T=π=

2π

2ω

，得ω=1．
∴f(x)=2

3

sin(2x+φ)，又(-

π

4

，0)是它的一個對稱中心，．
∴sin[2(-

π

4

)+φ]=0，得φ=

π

2

，
∴f(x)=2

3

sin(2x+

π

2

)=2

3

cos2x．
（2）由（1）得f（ax）=2

3

cos2ax，∵2ax∈(0，

2aπ

3

)，
所以欲滿足條件，必須

2aπ

3

≤π，∴a≤

3

2

．即a的最大值為

3

2

．

點評：本題考點是由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，將其圖象特征轉化成方程或不等式求出幾個參數(shù)，得到解析式，此類題是在角函數(shù)知識綜合運用的一個成熟題型．