如圖,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=3,點(diǎn)E、F分別在BC、AD上,EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使平面ABEF平面EFDC,設(shè)AD中點(diǎn)為P.
(Ⅰ)當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí),求證:CP∥平面ABEF;
(Ⅱ)設(shè)BE=x,當(dāng)x為何值時(shí),三棱錐A-CDF的體積有最大值?并求出這個(gè)最大值.
(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),有最大值,最大值為.
解析試題分析:(Ⅰ)取的中點(diǎn),連、,證明四邊形為平行四邊形,再由線面平行定理證明∥平面;(Ⅱ)先求三棱錐A-CDF的體積關(guān)于x的表達(dá)式,再看體積是否有最大值,并求出此時(shí)x的值.
試題解析:解:(Ⅰ)取的中點(diǎn),連、,則,
又∥,∴,即四邊形為平行四邊形,3分
∴∥,又EQ平面,平面ABEF,故∥平面. 6分
(Ⅱ)因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/89/f/9kl9b1.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面平面,
又 ∴平面 8分
由已知,所以
故, 11分
∴當(dāng)時(shí),有最大值,最大值為. 12分
考點(diǎn):1、線面平行的判定定理;2、面面垂直的性質(zhì)定理;3、線面垂直的判定定理;4、三棱錐體積的求法及二次函數(shù)最值求法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中,E、F分別為BC、CD的中點(diǎn),M、N分別為AB、CF的中點(diǎn),現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊,使B、C、D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為,構(gòu)成一個(gè)三棱錐.
(1)請(qǐng)判斷與平面的位置關(guān)系,并給出證明;
(2)證明平面;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA丄平面ABCD,,,AD=AB=1,AC和BD交于O點(diǎn).
(I)求證:平面PBD丄平面PAC.
(II)當(dāng)點(diǎn)A在平面PBD內(nèi)的射影G恰好是ΔPBD的重心時(shí),求二面角B-PD-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四面體中,、分別是、的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成角余弦值的大小;
(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,三棱柱A1B1C1—ABC的三視圖中,正(主)視圖和側(cè)(左)視圖是全等的矩形,俯視圖是等腰直角三角形,點(diǎn)M是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:B1C∥平面AC1M;
(2)求證:平面AC1M⊥平面AA1B1B.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,四邊形中(圖1),,中點(diǎn)為,將圖1沿直線折起,使二面角為(圖2)
(1)過(guò)作直線平面,且平面=,求的長(zhǎng)度。
(2)求直線與平面所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,△是等邊三角形, ,,,,分別是,,的中點(diǎn),將△沿折疊到的位置,使得.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn),求證:
(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
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