Question

（2011•普陀區(qū)三模）（理）已知函數(shù)f(x)=

ln(2-x2)

|x+2|-2

．
（1）試判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（2）求證：f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減；
（3）右圖給出的是與函數(shù)f（x）相關(guān)的一個程序框圖，試構(gòu)造一個公差不為零的等差數(shù)列{a_n}，使得該程序能正常運行且輸出的結(jié)果恰好為0．請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，得到定義域關(guān)于原點對稱，在檢驗-x與x的函數(shù)值之間的關(guān)系，得到奇函數(shù)．
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)出已知大小關(guān)系的任意兩個變量，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)是一個增函數(shù)．
（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數(shù)列{a_n}要滿足條件，則必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．所以要構(gòu)造滿足條件的等差數(shù)列{a_n}，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，只需等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0．

解答：解：（1）由

2-x2＞0 |x+2|-2≠0

得 x∈(-

2

，0)∪(0，

2

)，
則 f(x)=

ln(2-x2)

x

，任取 x∈(-

2

，0)∪(0，

2

)，
都有f（-x）=-

ln(2-x2)

x

=-f（x），則該函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）任取0＜x₁＜x₂＜1，
則有0＜x₁²＜x₂²＜1⇒2-x₁²＞2-x₂²＞1，⇒ln（2-x₁²）＞ln（2-x₂²）＞0．
又

1

x1

＞

1

x2

＞1，
所以

ln(2- x 2 1 )

x1

＞

ln(2- x 2 2 )

x2

，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．
（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數(shù)列{a_n}要滿足條件，
則必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．
由（1）知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，而奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
所以要構(gòu)造滿足條件的等差數(shù)列{a_n}，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，只需等差數(shù)列{a_n}
滿足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0
且 an∈(-

2

，0)∪(0，

2

)即可．
我們可以先確定a₅，a₆使得a₅+a₆=0，因為公差不為零的等差數(shù)列{a_n}必是單調(diào)的數(shù)列，只要它的最大項和最小項在 (-

2

，0)∪(0，

2

)中，即可滿足要求．
所以只要a₅，a₆
對應(yīng)的點盡可能的接近原點．如取a₅=-0.1，a₆=0.1，存在滿足條件的一個等差數(shù)列{a_n}可以是a_n=0.2n-1.1（1≤n≤10，n∈N^*）．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，以及借助于程序框圖考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是看清題目的實質(zhì)，抓住解題的主要方法．