Question

20．已知函數(shù)f（x）=m（sinx+cosx）-4sinxcosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，m∈R．
（1）設(shè)t=sinx+cosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，將f（x）表示為關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式g（t），并求出t的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥0對所有的x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）-2m+4=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論；
（2）據(jù)（1）可知g（t）=-2t²+mt+2≥0對所有的t∈[1，$\sqrt{2}$]恒成立，所以$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（\sqrt{2}）≥0}\end{array}\right.$，即可求出實數(shù)m的取值范圍；
（3）據(jù)（1）可知關(guān)于t的方程-2t²+mt+2-2m+4=0在t∈[1，$\sqrt{2}$]上有實數(shù)解，即關(guān)于t的方程2t²-mt+2m-6=0在t∈[1，$\sqrt{2}$]上有實數(shù)解，分類討論，求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）因為t=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以t∈[1，$\sqrt{2}$]，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．…（2分）
所以g（t）=mt-4•$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=-2t²+mt+2．…（5分）
（2）因為關(guān)于x的不等式f（x）≥0對所有的x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
據(jù)（1）可知g（t）=-2t²+mt+2≥0對所有的t∈[1，$\sqrt{2}$]恒成立，…（6分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（\sqrt{2}）≥0}\end{array}\right.$，得m≥$\sqrt{2}$．所以實數(shù)m的取值范圍是[$\sqrt{2}$，+∞）．…（10分）
（3）因為關(guān)于x的方程f（x）-2m+4=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有實數(shù)解，
據(jù)（1）可知關(guān)于t的方程-2t²+mt+2-2m+4=0在t∈[1，$\sqrt{2}$]上有實數(shù)解，
即關(guān)于t的方程2t²-mt+2m-6=0在t∈[1，$\sqrt{2}$]上有實數(shù)解，…（11分）
所以△=m²-16（m-3）≥0，即m≤4或m≥12．
令h（t）=2t²-mt+2m-6，開口向上，對稱軸t=$\frac{m}{4}$，
①當(dāng)m≥12時，對稱軸t≥3，函數(shù)h（t）在t∈[1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞減，
故$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≥0}\\{h（\sqrt{2}）≤0}\end{array}\right.$，解得m不存在．…（13分）
②當(dāng)m≤4時，對稱軸t≤1，函數(shù)h（t）在t∈[1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增，
故$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≤0}\\{h（\sqrt{2}）≥0}\end{array}\right.$，解得2+$\sqrt{2}$≤m≤4．…（15分）
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是[2+$\sqrt{2}$，4]．…（16分）

點評 本題考查三角函數(shù)式的化簡，考查方程有解方法，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．