Question

5．已知函數(shù)f（x）=lg（$\sqrt{x+1}$-$\sqrt{x}$）．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并說(shuō)明理由．
（2）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）．
（3）解f（1og₄x²）＞-lg（$\sqrt{2}$+1）．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可判斷f（x）在其定義域上的單調(diào)性；
（2）根據(jù)反函數(shù)的定義求出f（x）的反函數(shù)即可；
（3）根據(jù)題意把不等式化為f（1og₄x²）＞f（1），利用函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lg（$\sqrt{x+1}$-$\sqrt{x}$）=lg$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$，
∴f（x）是定義域[0，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)；
（2）令y=f（x）=lg（$\sqrt{x+1}$-$\sqrt{x}$），
∴10^y=$\sqrt{x+1}$-$\sqrt{x}$，
兩邊平方，得10^2y=（2x+1）-2$\sqrt{x（x+1）}$，
化簡(jiǎn)得2$\sqrt{x（x+1）}$=（2x+1）-10^2y，
兩邊再平方得4x（x+1）=（2x+1）²-2（2x+1）•10^2y+10^4y，
化簡(jiǎn)得2（2x+1）•10^2y=1+10^4y，
解得x=$\frac{{10}^{4y}-2{×10}^{2y}+1}{4{×10}^{2y}}$，
∴函數(shù)f（x）的反函數(shù)是f^-1（x）=$\frac{{10}^{4x}-2{×10}^{2x}+1}{4{×10}^{2x}}$，x≥0；
（3）∵-lg（$\sqrt{2}$+1）=lg$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=lg（$\sqrt{2}$-1）=f（1），
∴不等式f（1og₄x²）＞-lg（$\sqrt{2}$+1）可化為
f（1og₄x²）＞f（1）；
又f（x）在定義域[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴0≤log₄x²＜1，
即1≤x²＜4，
解得-2＜x≤-1或1≤x＜2，
∴該不等式的解集為（-2，-1]∪[1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性與利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了反函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．