Question

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足，．
①當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
②過點R（2，1）作直線l與軌跡C交于A，B兩點，使得R恰好為弦AB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

解：①設(shè)點M（x，y），由，得，，
由，得，所以y²=4x．
又點Q在x軸的正半軸上，得x＞0．
所以，動點M的軌跡C是以（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線，除去原點．
②方法一：設(shè)直線l：y=k（x-2）+1，其中k≠0，代入y²=4x，
整理得k²x²-（4k²-2k+4）x+（2k-1）²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
由，解得：k=2．
所以，直線l的方程為y=2（x-2）+1，
即：y=2x-3．
方法二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，
兩式相減 得：．
整理得：，
因為R（2，1）為弦AB的中點，
所以y₁+y₂=2，
代入上式得，即k_AB=2．
所以，直線l的方程為y=2（x-2）+1，
即：y=2x-3
分析：①設(shè)點M（x，y），由，得，，由，得，所以y²=4x．由此能求出點M的軌跡C．
②方法一：
設(shè)直線l：y=k（x-2）+1，其中k≠0，代入y²=4x，整理得k²x²-（4k²-2k+4）x+（2k-1）²=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，由，解得：k=2．由此能求出直線l的方程為．
方法二：
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，兩式相減 得：．因為R（2，1）為弦AB的中點，所以y₁+y₂=2，由此能求出直線l的方程．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．