Question

已知a≥0，函數(shù)f(x)＝(x²－2ax)e^x．

(1)當(dāng)x為何值時(shí)，f(x)取得最小值？證明你的結(jié)論；

(2)設(shè)f(x)在[－1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù)，得(x)＝(x2－2ax)ex＋(2x－2a)ex＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex，令(x)＝0，即[x2＋2(1－a)x－2a]ex＝0，從而x2＋2(1－a)x－2a＝0．解得x1＝a－1－1＋a2，x2＝a－1＋1＋a2，其中x1＜x2． 　　當(dāng)x變化時(shí)，(x)、f(x)的變化如下表： 　　所以f(x)在x＝x1處取到極大值，在x＝x2處取到極小值． 　　當(dāng)a≥0時(shí)，x1＜－1，x2≥0，f(x)在(x1，x2)上為減函數(shù)，在(x2，＋∞)上為增函數(shù)，而當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x(x－2a)ex＞0； 　　當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0，所以當(dāng)x＝a－1＋時(shí)，f(x)取得最小值． 　　(2)當(dāng)a≥0時(shí)，x1＜－1，所以f(x)在[－1，1]上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是x2≥1，即a－1＋≥1，解得a≥．綜上，f(x)在[－1，1]上為單調(diào)函數(shù)的充要條件為a≥，即a的取值范圍是[，＋∞)． 　　解析：(1)根據(jù)求最小值的方法直接求解最小值；(2)若f(x)在[－1，1]上是單調(diào)函數(shù)，那么[－1，1]應(yīng)該是(1)中單調(diào)區(qū)間的子集．