Question

設(shè)橢圓C₁：的右焦點(diǎn)為F，P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求線段PF的中點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l與橢圓C₁相交于點(diǎn)A、D，與曲線C₂順次相交于點(diǎn)B、C，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)，而，根據(jù)為中點(diǎn)，可得將其代入橢圓方程整理可得點(diǎn)的軌跡方程。（2）為了省去對(duì)直線斜率的討論，可設(shè)直線方程為，分別與兩曲線方程聯(lián)立消去得關(guān)于的一元二次方程，有求根公式可得方程的根，即各點(diǎn)的縱坐標(biāo)。由已知，可得，即。從而可得的值。
試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)，而，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程得：，即線段PF的中點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為：
（2）設(shè)直線l的方程為：，解方程組，，?當(dāng)時(shí)，則，解方程組
，，由題設(shè)，可得，有，所以=，即（），由此解得：，故符合題設(shè)條件的其中一條直線的斜率；?當(dāng)時(shí)，同理可求得另一條直線方程的斜率，故所求直線l的方程是.