Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求f（x）的最大值；
（2）設(shè)a，b∈R，a＞b＞c（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），用分析法求證：b^a＞a^b．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為證明$\frac{lnb}$＞$\frac{lna}{a}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （1）解：函數(shù)的定義域是（0，+∞）  f′（x）=$\frac{1-lnx}{x2}$，
∴當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增．
∴f（x）的最最大值為f（e）=$\frac{1}{e}$…（5分）
（2）證明：∵a＞b＞e，b^a＞0，a^b＞0，
∴要證b^a＞a^b，只需證aln b＞bln a，只需證$\frac{lnb}$＞$\frac{lna}{a}$，
由（1）可知f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)a＞b＞e時(shí)，有f（b）＞f（a），
即$\frac{lnb}$＞$\frac{lna}{a}$．得證．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．