Question

已知f（x）=2x²-2x+1，若關(guān)于x的方程f（sinx）=a在[0，π）上恰有兩解，則a的取值集合為

{

1

2

，1}

．

Answer 1

分析：利用換元法設(shè)t=sinx，將方程轉(zhuǎn)化為二次方程，利用二次方程根的情況確定a的取值．

解答：解：設(shè)t=sinx，因?yàn)閤∈[0，π），所以0≤t≤1．
則原方程為f（t）=a．
即a=f（t）=2t²-2t+1=2(t-

1

2

)2+

1

2

．
所以要使t=sinx，在[0，π）恰有兩解，
則滿足0＜t＜1，或t=0和t=1時(shí)，滿足條件．
所以當(dāng)t=

1

2

時(shí)，滿足條件，此時(shí)a=

1

2

．
當(dāng)t=0時(shí)，a=1，當(dāng)t=1時(shí)，a=1．
綜上，滿足條件的a=1或

1

2

．
故答案為：{1，

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵．