Question

過點P（2，1）作拋物線y²=4x的弦AB，若弦恰被P點平分
（1）求直線AB所在直線方程；（用一般式表示）
（2）求弦長|AB|．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．
（2）把直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用弦長公式即可得出．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2

⇒（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
由于直線的斜率存在，故

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

4

2

=2，
從而直線AB的方程為：y-1=2（x-2），即2x-y-3=0．
（2）

y2=4x y=2x-3

⇒（2x-3）²=4x即4x²-16x+9=0，
因△＞0，故

x1+x2=4 x1x2= 9 4

于是|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

16-9

=

35

．

點評：熟練掌握“點差法”、中點坐標公式、斜率計算公式、直線與拋物線相交問題轉化為直線方程與拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、弦長公式等是解題的關鍵．