Question

（本小題共14分）已知函數(shù)其中常數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，求m的取值范圍；

（3）設(shè)定義在D上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時，若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)的“類對稱點(diǎn)”，請你探究當(dāng)時，函數(shù)是否存在“類對稱點(diǎn)”，若存在，請最少求出一個“類對稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）.

（3）是一個類對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【解析】

試題分析：（1）由f^′(x)=2x-(a+2)+ = =

，能求出當(dāng)a＞2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

（2）a=4，f′（x）=2x+ -6，故f^′(x)=2x+ -6≥4 -6，不存在6x+y+m=0這類直線的切線．

（3）y=g(x)=(2x₀+ -6)(x-x₀)+ -6x₀+4lnx₀，令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能夠求出一個“類對稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．

解：（1）由可知，函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313173865213706/SYS201301131318501365324680_DA.files/image013.png">，

且.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011313173865213706/SYS201301131318501365324680_DA.files/image015.png">，所以.

當(dāng)或時，；當(dāng)時，，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）當(dāng)時，.

所以，當(dāng)變化時，，的變化情況如下：

	（0,1）	1	（1,2）	2	（2，
	+	0	—	0	+
	單調(diào)遞增	取極大值	單調(diào)遞減	取極小值	單調(diào)遞增

所以，

.

函數(shù)的圖象大致如下：

 

所以若函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，.

（3）由題意,當(dāng)時，，則在點(diǎn)P處切線的斜率；所以

.

令，

則，.

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，從而有時，；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，從而有時，；所以在上不存在“類對稱點(diǎn)”.

當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，故

所以是一個類對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo).

考點(diǎn)：本題主要是考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查類對稱點(diǎn)的求法．

點(diǎn)評：解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.