Question

（本題滿分15分）如圖，點(diǎn)為圓形紙片內(nèi)不同于圓心的定點(diǎn)，動點(diǎn)在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，設(shè)折痕交線段于點(diǎn).現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)圓：,記點(diǎn)的軌跡為曲線.

⑴證明曲線是橢圓，并寫出當(dāng)時該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)直線過點(diǎn)和橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，若橢圓的離心率，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（本題滿分15分）

解：（1）連結(jié)NA, 由題意知，直線m是線段MA的中垂線，

 

 

∴NA=NM, 而圓C的半徑為    ……………………2分

∴NC+NA=NC+NM=CM=(常數(shù))

∴動點(diǎn)N到兩定點(diǎn)C, A的距離之和為常數(shù)，

所以，點(diǎn)N的軌跡是以定點(diǎn)C, A為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓  

……………………4分

當(dāng)時，由于，所以所求橢圓E的方程為   

……………………6分

（2）橢圓E的方程為，其上頂點(diǎn)B

所以，直線的方程為，                  ……………………8分

記點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)

則有，  解得：……………………11分；

由，得，                  ……………………12分

∴，令，因為 則，

∴，∴，                    ……………………14分

所以，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是      ……………………15分

【解析】略