【題目】已知數(shù)列 的前 項和為 , .
(Ⅰ)求 ,猜想 的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(Ⅱ)設(shè) ,求證:數(shù)列 中任意三項均不成等比數(shù)列.
【答案】解:(Ⅰ)求出 ,猜想 ,數(shù)學(xué)歸納法證明:
(。┊(dāng) 時,猜想成立;
(ⅱ)假設(shè)當(dāng) 時,猜想成立,即
當(dāng) 時,
∴當(dāng) 時,猜想也成立
綜上,對一切 , .
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .
假設(shè)數(shù)列 中存在三項 ( 互不相等)成等比數(shù)列,
則 .即 .
∴ ∵ ,
∴ ∴ , ,∴ .
與 矛盾.
所以數(shù)列 中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列
【解析】(1)先由已知歸納猜想出一般結(jié)論,再用數(shù)學(xué)歸納法證明。
(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列或不是等比數(shù)列,都得緊扣定義,這里用反證法。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比數(shù)列的定義的相關(guān)知識,掌握如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.
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【題目】下列函數(shù)f(x)中,滿足“x1x2∈(0,+∞)且x1≠x2有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0”的是( )
A.f(x)= ﹣x
B.f(x)=x3
C.f(x)=lnx+ex
D.f(x)=﹣x2+2x
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【題目】在直三棱柱 中,底面 是邊長為2的正三角形, 是棱 的中點,且 .
(1)試在棱 上確定一點 ,使 平面 ;
(2)當(dāng)點 在棱 中點時,求直線 與平面 所成角的大小的正弦值。
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【題目】將紅、黑、藍、白5張紙牌(其中白紙牌有2張)隨機分發(fā)給甲、乙、丙、丁4個人,每人至少分得1張,則下列兩個事件為互斥事件的是( )
A. 事件“甲分得1張白牌”與事件“乙分得1張紅牌”
B. 事件“甲分得1張紅牌”與事件“乙分得1張藍牌”
C. 事件“甲分得1張白牌”與事件“乙分得2張白牌”
D. 事件“甲分得2張白牌”與事件“乙分得1張黑牌”
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【題目】某鮮奶店每天以每瓶3元的價格從牧場購進若干瓶鮮牛奶,然后以每瓶7元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的鮮牛奶作垃圾處理.
(1)若鮮奶店一天購進30瓶鮮牛奶,求當(dāng)天的利潤(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位:瓶,)的函數(shù)解析式;
(2)鮮奶店記錄了100天鮮牛奶的日需求量(單位:瓶),繪制出如下的柱形圖(例如:日需求量為25瓶時,頻數(shù)為5);
(i)若該鮮奶店一天購進30瓶鮮牛奶,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數(shù);
(ii) 若該鮮奶店一天購進30瓶鮮牛奶,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤不少于100元的概率.
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【題目】定義:對于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實數(shù),滿足,則稱為“局部奇函數(shù)”.
(1)已知二次函數(shù),試判斷是否為定義域上的“局部奇函數(shù)”?若是,求出所有滿足的的值;若不是,請說明事由.
(2)若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍.
(3)若為定義域上的“局部奇函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,點是菱形所在平面外一點, , 是等邊三角形, , , 是的中點.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)求直線與平面的所成角的大小.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[﹣3,3].
(Ⅰ)解不等式:f(x)+f(x+2)>0;
(Ⅱ)若a,b,c均為正實數(shù),且滿足a+b+c=m,求證: + + ≥3.
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