Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為a₁=5，前n項和為S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，令b_n=f′（1）．求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用遞推式，再寫一式，兩式相減，利用等比數(shù)列的定義，即可得到結論；
（2）先確定數(shù)列{a_n}的通項，再求導，賦值，再用錯位相減法，即可求得數(shù)列{b_n}的通項公式．
解答：（1）證明：∵S_n+1=2S_n+n+5，
∴n≥2時，S_n=2S_n-1+n+4，
兩式相減可得a_n+1+1=2（a_n+1）
當n=1時，a₂=2a₁+1=11，∴a₂+1=12，
∵a₁=5，∴a₁+1=6，
∴數(shù)列{a_n+1}是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知a_n+1=6×2^n-1，∴a_n=3×2ⁿ-1，
∵f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
∴f′（x）=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1，
∴f′（1）=a₁+2a₂+…+na_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）+…+n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）
令S=2+2×2²+…+n×2ⁿ，則2S=2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹
兩式相減可得S=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2
∴b_n=f′（1）=．
點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項與求和，確定數(shù)列的通項，正確運用求和方法是關鍵．