Question

如圖，在正方體OABC-O₁A₁B₁C₁中，P，Q分別是棱AB，B₁C₁上的動點，且AP=B₁Q，M、N、R分別為AB₁，PQ，BC₁的中點．
（Ⅰ）當(dāng)

AP

=2

PB

時，求異面直線PM，A₁C₁所成的角；
（Ⅱ）求證：點N恒在線段MR上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=1，進(jìn)而用坐標(biāo)表示向量．可得

PM

=(0，-

1

6

，

1

2

)

A1C1

=(-1，1，0)，利用向量的數(shù)量積可得夾角公式，故可求異面直線PM，A₁C₁所成角的余弦值．
（Ⅱ）要證點N恒在線段MR上，即證三點，M，N，R共線，即證

MN

=λ

MR

解答：解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=1
則 O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）
C（0，1，0），A₁（1，0，1），O₁（0，0，1）B1(1，1，1，)，C1(0，1，1)；M(1，

1

2

，

1

2

)
R（

1

2

，1，

1

2

)．
當(dāng) 

AP

=2

PB

時，P(1，

2

3

，0)，
則

PM

=(0，-

1

6

，

1

2

)，

A1C1

=(-1，1，0)
所以 

PM • A1C1

| PM |•| A1C1 |

=

- 1 6

10 6 × 2

=-

5

10

．
故異面直線PM，A₁C₁所成角的余弦值為

5

10

．
（Ⅱ）證明：設(shè)

AP

=λ

AB

(0≤λ≤1)，則

B1Q

=λ

B1C1

P（1，λ，0），Q（1-λ，1，1），則N(

2-λ

2

，

1+λ

2

，

1

2

)．
所以 

MN

=(-

λ

2

，

λ

2

，0)=λ(-

1

2

，

1

2

，0)=λ

MR

而0≤λ≤1，故 點N恒在線段MR上．

點評：本題以正方體為載體，考查空間向量，考查線線角，關(guān)鍵是坐標(biāo)系的建立，用坐標(biāo)表示向量．