已知數(shù)列{an}、{bn}中，對任何正整數(shù)n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2．
（1）若數(shù)列{an}是首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列，若是請求出通項(xiàng)公式，若不是請說明理由；
分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式，代入a
1b
n+a
2b
n-1+a
3b
n-2+…+a
n-1b
2+a
nb
1=2
n+1-n-2中，利用錯位相減法求得b
n=2
n-1，進(jìn)而推斷數(shù)列{b
n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
（2）設(shè)等比數(shù)列{b
n}的首項(xiàng)為b，公比為q，代入a
1b
n+a
2b
n-1+a
3b
n-2+…+a
n-1b
2+a
nb
1=2
n+1-n-2中進(jìn)而求得bq
n-2a
1+bq
n-3a
2+bq
n-4a
3++ba
n-1=2
n-n-1，整理得（2
n-n-1）q+ba
n=2
n+1-n-2，進(jìn)而求得a
n的表達(dá)式，要使a
n+1-a
n是與n無關(guān)的常數(shù)，必需q=2，進(jìn)而得出結(jié)論當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{b
n}的公比q=2時，數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是
an=；當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{b
n}的公比不是2時，數(shù)列{a
n}不是等差數(shù)列．
解答：解：（1）依題意數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式是a
n=n，
故等式即為b
n+2b
n-1+3b
n-2++（n-1）b
2+nb
1=2
n+1-n-2，b
n-1+2b
n-2+3b
n-3++（n-2）b
2+（n-1）b
1=2
n-n-1（n≥2），
兩式相減可得b
n+b
n-1++b
2+b
1=2
n-
得b
n=2
n-1，數(shù)列{b
n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
（2）設(shè)等比數(shù)列{b
n}的首項(xiàng)為b，公比為q，則b
n=bq
n-1，從而有：bq
n-1a
1+bq
n-2a
2+bq
n-3a
3++bqa
n-1+ba
n=2
n+1-n-2，
又bq
n-2a
1+bq
n-3a
2+bq
n-4a
3++ba
n-1=2
n-n-1（n≥2），
故（2
n-n-1）q+ba
n=2
n+1-n-2
an=×2n+×n+，
要使a
n+1-a
n是與n無關(guān)的常數(shù)，必需q=2，
即①當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{b
n}的公比q=2時，數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是
an=；
②當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{b
n}的公比不是2時，數(shù)列{a
n}不是等差數(shù)列．
點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．
