Question

已知向量

a

=（-

1

2

，

3

2

），

OA

=

a

-

b

，

OB

=

a

+

b

，△AOB是以O(shè)為直角頂點的等腰直角三角形．
（1）求向量

b

；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)

b

=(x，y)．利用OA=OB，可得|

b

|=|

a

|=

(- 1 2 )2+( 3 2 )2

=1．再利用|

AB

|=|

OB

-

OA

|=|2

b

|=2，
可得|

a

-

b

|=|

a

+

b

|=

2

，必有

a

⊥

b

．于是

x2+y2=1 - 1 2 x+ 3 2 y=0

解得即可．
（2）利用S△AOB=

1

2

|

OA

|2即可得出．

解答：解：（1）設(shè)

b

=(x，y)．
∵OA=OB，∴|

b

|=|

a

|=

(- 1 2 )2+( 3 2 )2

=1，
∵|

AB

|=|

OB

-

OA

|=|2

b

|=2，
∴|

a

-

b

|=|

a

+

b

|=

2

，∴

a

⊥

b

．
∴

x2+y2=1 - 1 2 x+ 3 2 y=0

，解得

x= 3 2 y= 1 2

或

x=- 3 2 y=- 1 2

．
∴

b

=(

3

2

，

1

2

)或(-

3

2

，-

1

2

)．（
2）S△AOB=

1

2

|

OA

|2=

1

2

×(

2

)2=1．

點評：熟練掌握向量的運算法則和數(shù)量積運算、三角形的面積計算公式等是解題的關(guān)鍵．