利用單調函數(shù)的定義證明：函數(shù)f（x）=x+
2
x
在區(qū)間（0，
2
）上是減函數(shù)．
分析：設 0＜x1＜x2＜
2
，化簡f（x1）-f（x2） 為
(x1-x2)(x1x2-2)
x1x2
，判斷它的符號大于零，再根據(jù)減函數(shù)的定義得出結論．
解答：證明：設 0＜x1＜x2＜
2
，（1分）
則 f（x1）-f（x2）=（x1+
1 
x1
 ）-（x2+
1
x2
）=（x1-x2 ）+2（
1
x1
- 
1
x2
）   （4分）
=
(x1-x2)(x1x2-2)
x1x2
   （6分）
由
0＜x1＜x2＜
2
  可得 0＜x1x2＜2，x1-x2＜0． 
∴
(x1-x2)(x1x2-2)
x1x2
＞0，即 f（x1）＞f（x2），
由單調函數(shù)的定義可知，函數(shù)函數(shù)f（x）=x+
2
x
在區(qū)間（0，
2
）上是減函數(shù)．（12分）
點評：本題主要考查函數(shù)的單調性的判斷和證明，屬于基礎題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：設計必修一數(shù)學(人教A版) 人教A版 題型：022

根據(jù)定義討論(或證明)函數(shù)增減性的一般步驟是：

(1)設x1、x2是給定區(qū)間內的任意兩個值且x1＜x2；

(2)作差f(x1)－f(x2)，并將此差化簡、變形；

(3)判斷f(x1)－f(x2)的正負，從而證得函數(shù)的增減性．

利用函數(shù)的單調性可以把函數(shù)值的大小比較的問題轉化為自變量的大小比較的問題．

函數(shù)的單調性只能在函數(shù)的定義域內來討論．這即是說，函數(shù)的單調區(qū)間是其定義域的________．

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