如圖,已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱長都是4,E是BC的中點,動點F在側(cè)棱CC1上,且不與點C重合.
(Ⅰ)當CF=1時,求證:EF⊥A1C;
(Ⅱ)設(shè)二面角C-AF-E的大小為θ,求tanθ的最小值.
(I)過E作EN⊥AC于N,連接EF,NF,AC1,由直棱柱的性質(zhì)可知,底面ABC⊥側(cè)面A1C
∴EN⊥側(cè)面A1C
NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影
在直角三角形CNF中,CN=1
則由
CF
CC1
=
CN
CA
=
1
4
,得NFAC1,又AC1⊥A1C,故NF⊥A1C
由三垂線定理可知EF⊥A1C
(II)連接AF,過N作NM⊥AF與M,連接ME
由(I)可知EN⊥側(cè)面A1C,根據(jù)三垂線定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ
設(shè)∠FAC=α則0°<α≤45°,
在直角三角形CNE中,NE=
3
,在直角三角形AMN中,MN=3sinα
故tanθ=
3
3sinα
,又0°<α≤45°∴0<sinα≤
2
2

故當α=45°時,tanθ達到最小值,
tanθ=
6
3
,此時F與C1重合
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖:在二面角α-l-β中,A、B∈α,C、D∈l,ABCD為矩形,p∈β,PA⊥α,且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中點,
(1)求二面角α-l-β的大小
(2)求證:MN⊥AB
(3)求異面直線PA和MN所成角的大。

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已知點O在二面角α-AB-β的棱上,點P在α內(nèi),且∠POB=45°.若對于β內(nèi)異于O的任意一點Q,都有∠POQ≥45°,則二面角α-AB-β的取值范圍是______.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

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已知三棱錐D-ABC的三個側(cè)面與底面全等,且AB=AC=
3
,BC=2,則以BC為棱,以面BCD與面BCA為面的二面角的余弦值為( 。
A.
3
3
B.
1
3
C.0D.-
1
2

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

如圖,在一個60°的二面角的棱上,有兩個點A、B,AC、BD分別是在這個二面角的兩個半平面內(nèi)垂直于AB的線段,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,則CD的長為______.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

在三棱錐S-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=
2
,SA=SC=2,二面角S-AC-B的余弦值是
3
3
,若S、A、B、C都在同一球面上,則該球的表面積是______.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

如圖,二面角α-l-β的棱l上有兩點B、C,AB⊥l,CD⊥l,且AB⊆α,CD⊆β,若AB=CD=BC=2,AD=4,則此二面角的大小為______.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線A1B與AC所成的角是______°.

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