【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),….
(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;
(Ⅱ)若,不等式恒成立,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)理由見解析;(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)首先求出導(dǎo)函數(shù),然后分、求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)首先將問題轉(zhuǎn)化為,恒成立,由此令,然后通過求導(dǎo)研究其單調(diào)性并求得其最大值,從而求得的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)由題可知,,則,
(i)當(dāng)時(shí),,函數(shù)為上的減函數(shù),
(ii)當(dāng)時(shí),令,得,
①若,則,此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù);
②若,則,此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).
(Ⅱ)由題意,問題等價(jià)于,不等式恒成立,
即,恒成立,
令,則問題等價(jià)于不小于函數(shù)在上的最大值.
由,
當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)在的最大值為,
故,不等式恒成立,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】20名同學(xué)參加某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下:
(Ⅰ)求頻率分布直方圖中的值;
(Ⅱ)分別求出成績落在, 中的學(xué)生人數(shù);
(Ⅲ)從成績在的學(xué)生中任選2人,求此2人的成績都在中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某校舉行的航天知識競賽中,參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績分布在,分?jǐn)?shù)在以上(含)的同學(xué)獲獎(jiǎng). 按文理科用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖(見下圖).
(1)求的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)填寫下面的列聯(lián)表,能否有超過的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”?
文科生 | 理科生 | 合計(jì) | |
獲獎(jiǎng) | |||
不獲獎(jiǎng) | |||
合計(jì) |
附表及公式:
,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若對任意及任意, ,恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人參加某種選拔測試,在備選的10道題中,甲答對其中每道題的概率都是,乙能答對其中的5道題.規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試,答對一題加10分,答錯(cuò)一題(不答視為答錯(cuò))減5分,至少得15分才能入選.
(I)求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(II)求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)圖象過點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線與直線垂直.
(1)求實(shí)數(shù),的值;
(2)對任意給定的正實(shí)數(shù),曲線上是否存在兩點(diǎn),,使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos xsin 2x,下列結(jié)論中正確的是________(填入正確結(jié)論的序號).
①y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2π,0)中心對稱;
②y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=π對稱;
③f(x)的最大值為;
④f(x)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究“教學(xué)方式”對教學(xué)質(zhì)量的影響,某高中老師分別用兩種不同的教學(xué)方式對入學(xué)數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個(gè)高一新班進(jìn)行教學(xué)(勤奮程度和自覺性都一樣).如圖莖葉圖為甲、乙兩班(每班均為20人)學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績.
(1)現(xiàn)從甲班數(shù)學(xué)成績不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué),求成績?yōu)?7分的同學(xué)至少有一名被抽中的概率;
(2)學(xué)校規(guī)定:成績不低于75分的為優(yōu)秀,請?zhí)顚?/span>列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.
甲班 | 乙班 | 合計(jì) | |
優(yōu)秀 | |||
不優(yōu)秀 | |||
合計(jì) |
參考公式與臨界值表: .
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班主任對全班50名學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:
積極參加班級工作 | 不太主動(dòng)參加班級工作 | 合計(jì) | |
學(xué)習(xí)積極性高 | 18 | 7 | 25 |
學(xué)習(xí)積極性一般 | 6 | 19 | 25 |
合計(jì) | 24 | 26 | 50 |
(1)如果隨機(jī)抽查這個(gè)班的一名學(xué)生,那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不太主動(dòng)參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(2)試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析:學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān)?并說明理由.
參考公式與臨界值表:K2=.
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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