Question

已知函數(shù).

 

（1）求證：函數(shù)在點(diǎn)處的切線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，滿足恒成立的函數(shù)

 

有無(wú)窮多個(gè).

 

Answer 1

【答案】

解：(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123371787507606/SYS201205212338551718234966_DA.files/image001.png">  ，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為

，

所以在點(diǎn)處的切線方程為 ，……2分

整理得，所以切線恒過(guò)定點(diǎn) ．   ………4分

 

(2) 令<0，對(duì)恒成立，

 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123371787507606/SYS201205212338551718234966_DA.files/image010.png"> （*）

                       ………………………………………………………………6分

令，得極值點(diǎn)，，

 

①當(dāng)時(shí)，有，即時(shí)，在（，+∞）上有，

 

此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有∈，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，有，同理可知，在區(qū)間上，有∈，

也不合題意；          …………………………………………… 8分                              

③當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，

 

從而在區(qū)間上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

 

所以．    

 

綜上可知的范圍是．      ……………………………………………12分

 

 (3)當(dāng)時(shí)，

 

記．

 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123371787507606/SYS201205212338551718234966_DA.files/image038.png">，所以在上為增函數(shù)，

 

所以，        ………………………………14分

 

設(shè), 則,

 

所以在區(qū)間上，滿足恒成立的函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)．16分

【解析】略