Question

設D是棱長為4的正四面體P₁P₂P₃P₄及其內部的點構成的集合，點P是正四面體P₁P₂P₃P₄的中心，若集合S={P∈D||PP|≤|PP_i|，i=1，2，3，4}，則集合S表示的區(qū)域的體積是    ．

Answer 1

【答案】分析：由集合S={P|P∈D，|PP|≤|PP_i|，i=1，2，3，4}，則P點應位于過PP_i的中點的四個垂面及正四面體的四個側面之內，又由D是正四面體及其內部的點構成的集合，我們易畫出滿足條件的圖象，并判斷其形狀，最后由正四面體的體積減去四個小正四面體的體積即可．
解答：解：如圖所示，

分別作出過PP₁、PP₂、PP₃、PP₄的中點的且與各線段垂直的面，
不妨設PP₁的垂面為ABC，垂足為H，若|PP|=|PP₁|，則點P在面ABC上，若|PP|≤|PP₁|，則點P在面ABC的與P位置相同的一側．同理其它四個面也是，
則P點應位于四個垂面及正四面體所圍成的區(qū)域內，
集合S表示的區(qū)域的體積是正四面體的體積減去四個相等的小正四面體的體積．
因為正四棱錐的棱長等于4，所以高為，
所以PP₁=，所以四面體P₁-ABC的地面ABC上的高，
設四面體P₁-ABC的棱長為a，則a=，
所以，
則集合S表示的區(qū)域的體積V=．
故答案為．
點評：本題考查的知識點是不等式表示的平面區(qū)域，根據|PP|≤|PP_i|，畫出滿足條件的圖形是解答本題的關鍵，此題是中檔題．