Question

給定銳角三角形PBC，．設A，D分別是邊PB，PC上的點，連接AC，BD，相交于點O. 過點O分別作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F，線段BC，AD的中點分別為M，N．（1）若A，B，C，D四點共圓，求證：；

（2）若 ，是否一定有A，B，C，D四點共圓？證明你的結論．

Answer 1

見解析

解析:

（1）設Q，R分別是OB，OC的中點，連接EQ，MQ，FR，MR，則

，

又OQMR是平行四邊形，所以

，

由題設A，B，C，D四點共圓，所以

，

于是  ，        圖1

  所以，

故  ，所以  EM＝FM，同理可得  EN＝FN，

所以  ．

（2）答案是否定的．

當AD∥BC時，由于，所以A，B，C，D四點不共圓，但此時仍然有，證明如下：

如圖2所示，設S，Q分別是OA，OB的中點，連接ES，EQ，MQ，NS，則

，

所以                        ．                          ①

又，所以

．                          ②

而AD∥BC，所以

，                          ③

由①，②，③得             ．

因為      ，

      ，

即                         ，

所以                       ～，

故                    （由②）．

同理可得，                ，

所以                         ，

從而                   ．