Question

證明正三棱柱的兩個(gè)側(cè)面的異面對(duì)角線互相垂直的充要條件是它的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)的比為

2

：1．

Answer 1

分析：因?yàn)檎�三棱柱，所以底面是正三角形，根�?jù)兩個(gè)側(cè)面的異面對(duì)角線互相垂直即可求得．

解答：證明：如圖，以正三棱柱的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，棱OC、OB為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)與棱長(zhǎng)分別為2a、b，則A（

3

a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）．因?yàn)楫惷鎸?duì)角線OA⊥BC?

OA

•

BC

=0?（

3

a，a，b）•（0，2a，-b）=2a²-b²=0?b=

2

a，即2a：b=

2

：1，所以O(shè)A⊥BC的充要條件是它的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)的比為

2

：1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生運(yùn)用空間向量解決立體幾何的能力．考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力．