Question

1．已知函數(shù)$f（x）=sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）$．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若f（C）=$\frac{1}{4}$，a=2，且△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求c的值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)f（C）=$\frac{1}{4}$，求出C，a=2，且△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求出b，利用余弦定理可得c的值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）$．
化簡可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$cos2x-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{4}$．
（I）由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（C）=$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{2}$sin（2C+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$
可得：2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{6}$．
由a=2，且△ABC的面積為$\sqrt{3}$，即S=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$．
余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，
可得：${c}^{2}=4+12-4×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4．
∴c=2．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．本題還考查三角形的正余弦定理的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．