Question

6．在△ABC中，A₁，B₁分別是邊BA，CB的中點，A₂，B₂分別是線段A₁A，B₁B的中點，…，A_n，B_n分別是線段${A_{n-1}}A，{B_{n-1}}B（n∈{N^*}，n＞1）$的中點，設數列{a_n}，{b_n}滿足：向量$\overrightarrow{{B_n}{A_n}}={a_n}\overrightarrow{CA}+{b_n}\overrightarrow{CB}（n∈{N^*}）$，有下列四個命題，其中假命題是（　　）

• A． 數列{a_n}是單調遞增數列，數列{b_n}是單調遞減數列
• B． 數列{a_n+b_n}是等比數列
• C． 數列$\{\frac{a_n}{b_n}\}$有最小值，無最大值
• D． 若△ABC中，C=90°，CA=CB，則$|\overrightarrow{{B_n}{A_n}}|$最小時，${a_n}+{b_n}=\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{B{A}_{n}}$=（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）$\overrightarrow{BA}$=（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$），$\overrightarrow{{B}_{n}B}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$$\overrightarrow{CB}$，可得$\overrightarrow{{B}_{n}{A}_{n}}$=$\overrightarrow{{B}_{n}B}$+$\overrightarrow{B{A}_{n}}$，由條件可得a_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，b_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-1，由單調性可判斷A；由等比數列的定義可判斷B；由數列的單調性即可判斷C；運用向量數量積的性質，化簡結合二次函數的最值，即可判斷D．

解答 解：由在△ABC中，A₁，B₁分別是邊BA，CB的中點，
A₂，B₂分別是線段A₁A，B₁B的中點，…，
A_n，B_n分別是線段${A_{n-1}}A，{B_{n-1}}B（n∈{N^*}，n＞1）$的中點，
可得$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（1-$\frac{1}{2}$）$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{B{A}_{2}}$=（1-$\frac{1}{4}$）$\overrightarrow{BA}$，…，
即有$\overrightarrow{B{A}_{n}}$=（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）$\overrightarrow{BA}$=（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$），
$\overrightarrow{{B}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{{B}_{2}B}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$，…，
即有$\overrightarrow{{B}_{n}B}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$$\overrightarrow{CB}$，
則$\overrightarrow{{B}_{n}{A}_{n}}$=$\overrightarrow{{B}_{n}B}$+$\overrightarrow{B{A}_{n}}$=（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$$\overrightarrow{CB}$═（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）$\overrightarrow{CA}$+（$\frac{2}{{2}^{n}}$-1）$\overrightarrow{CB}$
=a_n$\overrightarrow{CA}$+b_n$\overrightarrow{CB}$，
可得a_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，b_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-1，
則數列{a_n}是單調遞增數列，數列{b_n}是單調遞減數列，故A正確；
數列{a_n+b_n}即為{$\frac{1}{{2}^{n}}$}是首項和公比均為$\frac{1}{2}$的等比數列，故B正確；
而當n=1時，a₁=$\frac{1}{2}$，b₁=0，$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$不存在；
n＞1時，$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2-{2}^{n}}$=-1+$\frac{1}{2-{2}^{n}}$在n∈N+遞增，有最小值，無最大值，故C錯誤；
若△ABC中，C=90°，CA=CB，則$|\overrightarrow{{B_n}{A_n}}|$²=（a_n²+b_n²）$\overrightarrow{CA}$²+2a_nb_n$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$
=（a_n²+b_n²）$\overrightarrow{CA}$²，a_n²+b_n²=（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）²+（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-1）²=5•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ-6•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+2
=5（$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{3}{5}$）²-$\frac{1}{5}$，當n=1時，取得最小值，即有則$|\overrightarrow{{B_n}{A_n}}|$最小時，${a_n}+{b_n}=\frac{1}{2}$．故D正確．
故選：C．

點評 本題考查數列與向量的綜合問題的解法，注意運用向量的加減和數乘運算，考查數列的單調性和最值，以及轉化思想和化簡運算能力，屬于難題．