Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，且短軸一頂點(diǎn)B滿足，

（Ⅰ） 求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，則△MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）=1；（Ⅱ）直線l:x=1，△AMN內(nèi)切圓面積的最大值為π。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題，設(shè)橢圓方程為=1（a>b>0），不妨設(shè)B（0，b），

則，

故橢圓方程為=1；

（Ⅱ） 設(shè)M，N,不妨設(shè)>0, <0,設(shè)△MN的內(nèi)切圓半徑為R，

則△MN的周長(zhǎng)=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，

，

由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，

由得+6my-9=0，

則==，

令t=,則t≥1,則,

令f（t）=3t+，則f′（t） =3-，當(dāng)t≥1時(shí)，f′（t）≥0,f（t）在［1,+∞）上單調(diào)遞增，

故有f（t）≥f（1）="4," ≤=3,

即當(dāng)t=1,m=0時(shí)，≤="3," =4R，∴=，

這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為π．

故直線l:x=1，△AMN內(nèi)切圓面積的最大值為π。

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與橢圓的綜合應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．