Question

53、a、b、c都是不小于1的實數(shù)，它們的積為10且a^lga，b^lgb，c^lgc的積不小于10，求a、b、c

Answer 1

分析：由題意列方程和不等式，因與10有關(guān)，故對兩個式子同時取常用對數(shù)得到關(guān)于含有對數(shù)的式子，平方后把等式代入不等式，再利用a、b、c的范圍和方程，求出a、b、c的值．

解答：解：由題意知，abc=10，a^lga•b^lgb•c^lgc≥10；對兩個式子同時取常用對數(shù)得：
lga+lgb+lgc=1   ①，（lga）²+（lgb）²+（lgc）²≥1   ②，
將①平方得，（lga）²+（lgb）²+（lgc）²+2lgagb+2lgalgc+2lgblgc=1，
即（lga）²+（lgb）²+（lgc）²=1--（2lgagb+2lgalgc+2lgblgc），再代入②得，
lgagb+lgalgc+gblgc≤0，
∵a、b、c都是不小于1的實數(shù)，∴l(xiāng)ga≥0、lgb≥0、lgc≥0；
∴l(xiāng)galgb=lgblgc=lgalgc=0  ③，由①與③得：
可能有l(wèi)ga=0，lgb=1，lgc=0或lga=1，lgb=0，lgc=0或lga=0，lgb=0，lgc=1；
∴a=c=1，b=10或a=10，b=c=1或a=b=1，b=10

點評：本題的考點是對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用，即給條件求值，注意到題目條件既有等量關(guān)系，又有不等關(guān)系，要求a、b、c的具體值，一般進行合理的變形后利用非負(fù)性求解．