Question

4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a²+b²-c²=ab，c=3，sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB，則△ABC的周長(zhǎng)為 3+3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由a²+b²-c²=ab，及余弦定理，可求cosC，結(jié)合范圍C∈（0，π），可求C=$\frac{π}{3}$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理化簡(jiǎn)已知可求（a+b）c=3$\sqrt{2}$ab，代入c=3，可得：a+b=$\sqrt{2}$ab，進(jìn)而可求2（ab）²-3ab-9=0，解得ab的值，從而可求三角形的周長(zhǎng)．

解答 解：由a²+b²-c²=ab，及余弦定理，可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
又C∈（0，π），
所以C=$\frac{π}{3}$，
由sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB，可得：（sinA+sinB）sinC=2$\sqrt{6}$sinCsinAsinB，
可得：（sinA+sinB）sinC=2$\sqrt{6}$sin$\frac{π}{3}$sinAsinB，
可得：（sinA+sinB）sinC=3$\sqrt{2}$sinAsinB，
結(jié)合正弦定理，可得：（a+b）c=3$\sqrt{2}$ab，代入c=3，可得：a+b=$\sqrt{2}$ab，
再結(jié)合a²+b²-c²=ab，可得：（a+b）²-2ab-3²=ab，
可得：（a+b）²-3ab-9=0，可得：（$\sqrt{2}$ab）²-3ab-9=0，
可得：2（ab）²-3ab-9=0，可得：（2ab+3）（ab-3）=0，解得：ab=-$\frac{3}{2}$（舍去）或ab=3．
可得：a+b=3$\sqrt{2}$，a+b+c=3+3$\sqrt{2}$．
故答案為：3+3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．