Question

9．集合A=$\left\{x\right.\left|{\left.{（x-\frac{1}{2}）（x-3）=0}\right\}}\right.，B=\left\{x\right.\left|{\left.{ln（{x^2}+ax+a+\frac{9}{4}）=0}\right\}}$
（1）若集合B只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若B是A的真子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知${x^2}+ax+a+\frac{5}{4}=0$有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)判別式即可求出a的值，
（2）先化簡(jiǎn)A，再分類討論，當(dāng)當(dāng)B=∅時(shí)，和當(dāng)B≠∅時(shí)，即可求出a的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)集合B有${x^2}+ax+a+\frac{5}{4}=0$有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以△=a²-4（a+$\frac{5}{4}$）=0，解得a=5或-1；
（2）根據(jù)條件，$A=\{\frac{1}{2}，3\}$，B是A的真子集，所以當(dāng)B=∅時(shí)，△=a²-4（a+$\frac{5}{4}$）＜0，解得-1＜a＜5；
當(dāng)B≠∅時(shí)，根據(jù)（1）將a=5，-1分別代入集合B檢驗(yàn)，
當(dāng)a=5，$B=\{-\frac{5}{2}\}$，不滿足條件，舍去；
當(dāng)a=-1，$B=\{\frac{1}{2}\}$，滿足條件；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，5）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合和元素的關(guān)系，以及集合與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．