Question

各項都為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1²-a_n²=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{

1

an+an+1

}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n+1²-a_n²=1，可得：數(shù)列{

a

2 n

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（Ⅱ）由an=

n

，可得

1

an+an+1

=

1

n + n+1

=

n+1

-

n

．利用“累加求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1²-a_n²=1，
∴數(shù)列{

a

2 n

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

a

2 n

=1+（n-1）×1=n，
又a_n＞0，則an=

n

．
（Ⅱ）∵an=

n

，
則

1

an+an+1

=

1

n + n+1

=

n+1

-

n

．
∴

1

a1+a2

+

1

a2+a3

+…+

1

an+an+1

=(

2

-1)+(

3

-

2

)+…+(

n+1

-

n

)
=

n+1

-1．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、分母“有理化”、“累加求和”，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．