Question

已知橢圓C的中心在原點O，它的短軸長為2

2

，相應的焦點F₁（c，0）（c＞0）的準線l與x軸相交于A，|OF₁|=2|F₁A|．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓C的左焦點作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l，交橢圓于P、Q兩點，在x軸上是否存在點M，對任意的直線l，MF₂為△MPQ的一條角平分線，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，從而可知2b=2

2

，c=2（

a2

c

-c），結合a²=b²+c²，從而求出a，b，c，寫出橢圓的方程；
（2）設M（m，0），左焦點為F₂（-2，0），可設直線PQ的方程為x=

y

k

-2，聯立直線與橢圓方程的得到關系式，進而得到韋達定理，利用角平分線的性質得到結論．

解答： 解：（1）由題意，設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
則2b=2

2

，
則b=

2

；
又∵|OF₁|=2|F₁A|．
∴c=2（

a2

c

-c），
解得，a=

6

，c=2；
故橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1；
（2）設M（m，0），左焦點為F₂（-2，0）；
可設直線PQ的方程為x=

y

k

-2，
與橢圓方程

x2

6

+

y2

2

=1聯立消去x得，
（

1

k2

+3）y²-

4y

k

-2=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y₁+y₂=

4k

1+3k2

，
y₁y₂=

-2k2

1+3k2

，
∵MF₂為△MPQ的一條角平分線，
∴

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0，
化簡可得，

2

k

y₁y₂-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0，
即

2

k

•

-2k2

1+3k2

-（m+2）

4k

1+3k2

=0，
∴（m+3）

4k

1+3k2

=0，
∴m=-3．
故M（-3，0）．

點評：本題主要是運用橢圓的幾何性質得到橢圓方程，然后結合新定義得到直線與橢圓的方程聯立，結合韋達定理表示，然后得到點M．屬于中檔題．