Question

（5分）設函數（a∈R，e為自然對數的底數）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，則a的取值范圍是（　　）

A．  [1，e]       B．   [1，1+e]  C．   [e，1+e]  D．  [0，1]

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】由f（f（b））=b，可得f（b）=f^﹣1（b）

其中f^﹣1（x）是函數f（x）的反函數

因此命題“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，轉化為

“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^﹣1（b）”，

即y=f（x）的圖象與函數y=f^﹣1（x）的圖象有交點，

且交點的橫坐標b∈[0，1]，

∵y=f（x）的圖象與y=f^﹣1（x）的圖象關于直線y=x對稱，

∴y=f（x）的圖象與函數y=f^﹣1（x）的圖象的交點必定在直線y=x上，

由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點，且交點橫坐標b∈[0，1]，

根據，化簡整理得e^x=x²﹣x+a

記F（x）=e^x，G（x）=x²﹣x+a，在同一坐標系內作出它們的圖象，

可得，即，解之得1≤a≤e

即實數a的取值范圍為[1，e]

故選：A