Question

已知定義在（-2，2）上的函數(shù)f(x)=

a，x=1 x3+bx2-x-1 x2+x-2 ，x≠1

連續(xù)．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）求f（x）的最值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)f(x)=

a，x=1 x3+bx2-x-1 x2+x-2 ，x≠1

連續(xù)，且x≠1時，f（x）=

x 3+bx 2-x-1

(x-1)(x+2)

，得：x=1必是方程：x³+bx²-x-1=0的根，即可求得b值，進而求得a值．
（II）由（I）得f(x)=

4 3 ，x=1 (x+1)2 x+2 ，x≠1

=

(x+1) 2

x+2

，利用

(x+1) 2

x+2

=x+2+

1

x+2

-2，它可以看成是由函數(shù)g（x）=x+

1

x

進行圖象變換而得f（x）的單調(diào)性；
（III）結(jié)合（II）可得f（x）的最小值．

解答：解：（I）∵函數(shù)f(x)=

a，x=1 x3+bx2-x-1 x2+x-2 ，x≠1

連續(xù)，
且x≠1時，f（x）=

x 3+bx 2-x-1

(x-1)(x+2)

，得：x=1必是方程：x³+bx²-x-1=0的根，
∴解得b=1，
∴f(x)=

a，x=1 (x+1)2 x+2 ，x≠1

，故a=

(1+1) 2

1+2

=

4

3

，
（II）由（I）得f(x)=

4 3 ，x=1 (x+1)2 x+2 ，x≠1

=

(x+1) 2

x+2

∵

(x+1) 2

x+2

=x+2+

1

x+2

-2，它可以看成是由函數(shù)g（x）=x+

1

x

進行圖象變換而得，
∵定義域為（-2，2）
∴f（x）的單調(diào)性是：在區(qū)間（-1，2）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-2，-1）上是減函數(shù)，
（III）結(jié)合（II）得：f（x）在區(qū)間（-1，2）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-2，-1）上是減函數(shù)
∴f（x）在x=-1時取得最小值，且f（x）的最小值為：f（-1）=0．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、函數(shù)的值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．