Question

函數(shù)f（x）=k•a^-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點(diǎn)A（0，1），B（3，8）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，求b的值；
（3）在（2）的條件下判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（0，1），B（3，8）
∴，解得，
∴f（x）=2^x

（2）由（1）得，，則2^x-1≠0，解得x≠0，
∴函數(shù)g（x）定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
∵函數(shù)g（x）是奇函數(shù)
∴，
∴，即，
∴1+b•2^x=2^x+b，即（b-1）•（2^x-1）=0
對(duì)于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，∴b=1

（3）由（2）知，，且x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）為單調(diào)遞減的函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）也為單調(diào)遞減的函數(shù)，
證明如下：
設(shè)0＜x₁＜x₂，則
∵0＜x₁＜x₂，∴，
∴g（x₁）＞g（x₂），即g（x）為單調(diào)遞減的函數(shù)
同理可證，當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）也為單調(diào)遞減的函數(shù)．
分析：（1）根據(jù)A（0，1），B（3，8）在函數(shù)圖象，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式列出方程組，求出k、a的值；
（2）由（1）求出g（x）的解析式和定義域，再根據(jù)奇函數(shù)的定義g（x）=-g（-x）列出關(guān)于b的等式，由函數(shù)的定義域求出b的值；
（3）利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，先判斷出在定義域上的單調(diào)性，再利用取值-作差-變形-判斷符號(hào)-下結(jié)論，證明函數(shù)的單調(diào)性．
點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)性質(zhì)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)的定義求值，用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；注意函數(shù)的定義域優(yōu)先，并且函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能并在一起，這是易錯(cuò)的地方．