Question

已知F₁、F₂是雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，以線段F₁F₂為斜邊作等腰直角三角形F₁MF₂，如果線段MF₁的中點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是

1. A.
   +
2. B.
   -
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：記雙曲線的焦距為2C、依題意知點M在y軸上，不妨設F₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點，M在y軸正半軸上，則可表示出F₁和M的坐標，進而可表示出線段MF₁的中點坐標代入雙曲線方程，化簡整理即可求得e．
解答：記雙曲線的焦距為2C、依題意知點M在y軸上，
不妨設F₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點，M在y軸正半軸上，則有F₁（-c，0），M（0，c），
∴線段MF₁的中點坐標是（-，）．
又∵線段MF₁的中點在雙曲線上，
∴-=1，即-=4，-=4，（e²）²-6e²+4=0，e²=3±．又e²＞1，
∴e²=3
∵（）²=3+，
∴e=．
故選C
點評：本題主要考查了直線與雙曲線的關系以及求離心率的問題．考查了學生的綜合分析問題和基本的運算能力．