Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

(2a+1)x2+(a2+a)x．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極大值，求實數a的值；
（Ⅱ）若?m∈R，直線y=kx+m都不是曲線y=f（x）的切線，求k的取值范圍；
（Ⅲ）若a＞-1，求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數，確定函數的單調性，利用f（x）在x=1處取得極大值，可求實數a的值；
（II）求導數，根據?m∈R，直線y=kx+m都不是曲線y=f（x）的切線，可得f′(x)=(x-

2a+1

2

)2-

1

4

≠k對x∈R成立，即使f'（x）的最小值大于k；
（III）分類討論，確定函數在區(qū)間[0，1]上的單調性，從而可求函數的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為 f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]…（2分）
令f'（x）=0，得x₁=（a+1），x₂=a
所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，a+1）	a+1	（a+1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

…（4分）
因為f（x）在x=1處取得極大值，所以a=1…（5分）
（II）求導數可得f′(x)=(x-

2a+1

2

)2-

1

4

…（6分）
因為?m∈R，直線y=kx+m都不是曲線y=f（x）的切線，所以f′(x)=(x-

2a+1

2

)2-

1

4

≠k對x∈R成立…（7分）
所以只要f'（x）的最小值大于k，所以k＜-

1

4

…（8分）
（III）因為a＞-1，所以a+1＞0，
當a≥1時，f'（x）≥0對x∈[0，1]成立，所以當x=1時，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

…（9分）
當0＜a＜1時，在x∈（0，a）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，在x∈（a，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，所以當x=a時，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2…（10分）
當a=0時，在x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，所以當x=0時，f（x）取得最大值f（0）=0…（11分）
當-1＜a＜0時，在x∈（0，a+1）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，在x∈（a+1，1）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，又f(0)=0，f(1)=a2-

1

6

，
當-1＜a＜-

6

6

時，f（x）在x=1取得最大值f(1)=a2-

1

6

當-

6

6

＜a＜0時，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0
當a=-

6

6

時，f（x）在x=0，x=1處都取得最大值0．…（14分）
綜上所述，當a≥1或-1＜a＜-

6

6

時，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

；當0＜a＜1時，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2；當a=-

6

6

時，f（x）在x=0，x=1處都取得最大值0；當-

6

6

＜a≤0時，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查導數的幾何意義，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．