Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，其中數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2公比為

1

2

的等比數(shù)列，又bn=

a1            n=1 an-an-1   n≥2

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求使不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

成立的所有正整數(shù)m，n的值．

Answer 1

分析：（1）bn=2•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2，a₁=b₁=2，an-an-1=1+

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-2=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=-2(

1

2

)n-1+2，故an=4-2(

1

2

)n-1=4-(

1

2

)n-2．
（2）

an-m

an+1-m

＜

2

3

?

4-( 1 2 )n-2-m

4-( 1 2 )n-1-m

＜

2

3

?1-

m

4

＜(

1

2

)n-1＜4-m1-

m

4

＜4-m?m＜4，再分類討論能夠求出

m=1 n=1

或

m=2 n=1

或

m=3 n=2

．

解答：解：（1）bn=2•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2a₁=b₁=2
當(dāng)n≥2時(shí)，a₂-a₁=1

a3-a2= 1 2 a4-a3=( 1 2 )2 … an-an-1=( 1 2 )n-2

an-a1=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=-2(

1

2

)n-1+2
∴an=4-2(

1

2

)n-1=4-(

1

2

)n-2；
（2）

an-m

an+1-m

＜

2

3

?

4-( 1 2 )n-2-m

4-( 1 2 )n-1-m

＜

2

3

?1-

m

4

＜(

1

2

)n-1＜4-m
∴1-

m

4

＜4-m?m＜4
當(dāng)m=1時(shí)，

3

4

＜(

1

2

)n-1＜3?n=1；
當(dāng)m=2時(shí)，

1

2

＜(

1

2

)n-1＜2?n=1；
當(dāng)m=3時(shí)，

1

4

＜(

1

2

)n-1＜1?n=2．
∴

m=1 n=1

或

m=2 n=1

或

m=3 n=2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意遞推公式的靈活運(yùn)用．