【題目】如圖，矩形中，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將與折起，使得平面及平面都與平面垂直.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）分別取的中點(diǎn)，由線面垂直性質(zhì)定理可得，又三角形和全等，所以，四邊形為平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定定理，即得證；

（2）以為原點(diǎn)，，為，正半軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出二面角的正弦值．

（1）如圖所示：

分別取，的中點(diǎn)，，連結(jié)，，，

則，，

平面與平面都與平面垂直，

平面，平面，

由線面垂直的性質(zhì)定理得，

，四邊形是平行四邊形，，

平面，平面．

（2）如圖，以為原點(diǎn)，，為，正半軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，平面的法向量，

設(shè)平面的法向量，

則，取，得．

設(shè)二面角的平面角為，由圖知為鈍角，

．

∴二面角的余弦值為，則正弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知圓的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是，射線：與圓的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)為.

（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）求線段的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】植物園擬建一個(gè)多邊形苗圃，苗圃的一邊緊靠著長(zhǎng)度大于30m的圍墻．現(xiàn)有兩種方案：

方案① 多邊形為直角三角形（），如圖1所示，其中；

方案② 多邊形為等腰梯形（），如圖2所示，其中．

請(qǐng)你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積，并從中確定使苗圃面積最大的方案．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年全球爆發(fā)新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常見(jiàn)的呼吸道癥狀有：發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，嚴(yán)重時(shí)會(huì)危及生命．隨著疫情的發(fā)展，自2020年2月5日起，武漢大面積的爆發(fā)新冠肺炎，政府為了及時(shí)收治輕癥感染的群眾，逐步建立起了14家方艙醫(yī)院，其中武漢體育中心方艙醫(yī)院從2月12日開(kāi)艙至3月8日閉倉(cāng)，累計(jì)收治輕癥患者1056人．據(jù)部分統(tǒng)計(jì)該方艙醫(yī)院從2月26日至3月2日輕癥患者治愈出倉(cāng)人數(shù)的頻數(shù)表與散點(diǎn)圖如下：

日期

2.26

2.27

2.28

2.29

3.1

3.2

序號(hào)

1

2

3

4

5

6

出倉(cāng)人數(shù)

3

8

17

31

68

168

根據(jù)散點(diǎn)圖和表中數(shù)據(jù)，某研究人員對(duì)出倉(cāng)人數(shù)與日期序號(hào)進(jìn)行了擬合分析．從散點(diǎn)圖觀察可得，研究人員分別用兩種函數(shù)①②分析其擬合效果．其相關(guān)指數(shù)可以判斷擬合效果，R2越大擬合效果越好．已知的相關(guān)指數(shù)為．

（1）試根據(jù)相關(guān)指數(shù)判斷．上述兩類(lèi)函數(shù)，哪一類(lèi)函數(shù)的擬合效果更好？（注：相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù)R2滿足，參考數(shù)據(jù)表中）

（2）①根據(jù)（1）中結(jié)論，求擬合效果更好的函數(shù)解析式；（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）

②3月3日實(shí)際總出倉(cāng)人數(shù)為216人，按①中的回歸模型計(jì)算，差距有多少人？

（附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線為

相關(guān)系數(shù)

參考數(shù)據(jù)：

3.5

49.17

15.17

3.13

894.83

19666.83

10.55

13.56

3957083

，，，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱-的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面，點(diǎn)分別是棱，上的點(diǎn)，且

（Ⅰ）證明：平面平面；

（II）若，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，為邊上一點(diǎn)，，.

（1）證明：平面平面.

（2）若，試問(wèn)：是否與平面平行？若平行，求三棱錐的體積；若不平行，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且，的前n項(xiàng)和為.若對(duì)任意的恒成立.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足問(wèn)：是否存在正整數(shù)，使得，若存在求出的值，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若存在各項(xiàng)均為正整數(shù)公差為的無(wú)窮等差數(shù)列，滿足，且存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，求的所有可能的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】垃圾分類(lèi)，是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類(lèi)儲(chǔ)存、分類(lèi)投放和分類(lèi)搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱(chēng)．分類(lèi)的目的是提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，力爭(zhēng)物盡其用．2019年6月25日，生活垃圾分類(lèi)制度入法．到2020年底，先行先試的46個(gè)重點(diǎn)城市，要基本建成垃圾分類(lèi)處理系統(tǒng)；其他地級(jí)城市實(shí)現(xiàn)公共機(jī)構(gòu)生活垃圾分類(lèi)全覆蓋．某機(jī)構(gòu)欲組建一個(gè)有關(guān)“垃圾分類(lèi)”相關(guān)事宜的項(xiàng)目組，對(duì)各個(gè)地區(qū)“垃圾分類(lèi)”的處理模式進(jìn)行相關(guān)報(bào)道．該機(jī)構(gòu)從600名員工中進(jìn)行篩選，篩選方法：每位員工測(cè)試，，三項(xiàng)工作，3項(xiàng)測(cè)試中至少2項(xiàng)測(cè)試“不合格”的員工，將被認(rèn)定為“暫定”，有且只有一項(xiàng)測(cè)試“不合格”的員工將再測(cè)試，兩項(xiàng)，如果這兩項(xiàng)中有1項(xiàng)以上（含1項(xiàng)）測(cè)試“不合格”，將也被認(rèn)定為“暫定”，每位員工測(cè)試，，三項(xiàng)工作相互獨(dú)立，每一項(xiàng)測(cè)試“不合格”的概率均為．

（1）記某位員工被認(rèn)定為“暫定”的概率為，求；

（2）每位員工不需要重新測(cè)試的費(fèi)用為90元，需要重新測(cè)試的總費(fèi)用為150元，除測(cè)試費(fèi)用外，其他費(fèi)用總計(jì)為1萬(wàn)元，若該機(jī)構(gòu)的預(yù)算為8萬(wàn)元，且該600名員工全部參與測(cè)試，問(wèn)上述方案是否會(huì)超過(guò)預(yù)算?請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝xex－alnx（無(wú)理數(shù)e＝2.718…）．

（1）若f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)a＝－1時(shí)，設(shè)g（x）＝x（f（x）－xex）－x3＋x2－b，若函數(shù)g（x）存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的最大值．

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