Question

若關(guān)于x的方程3tx²+（3-7t）x+4=0的兩實(shí)根α，β滿足0＜α＜1＜β＜2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由已知中關(guān)于x的方程3tx²+（3-7t）x+4=0的兩實(shí)根α，β滿足0＜α＜1＜β＜2，根據(jù)方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系，我們易得方程相應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間（0，1）與區(qū)間（1，2）上各有一個(gè)零點(diǎn)，此條件可轉(zhuǎn)化為不等式組

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，解不等式組即可得到實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：依題意，函數(shù)f（x）=3tx²+（3-7t）x+4的兩個(gè)零點(diǎn)α，β滿足0＜α＜1＜β＜2，
且函數(shù)f（x）過點(diǎn)（0，4），則必有

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

即：

4＞0 3t+3-7t+4＜0 12t+6-14t+4＞0

，
解得：

7

4

＜t＜5．
故答案為：

7

4

＜t＜5

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系．其中根據(jù)方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于t的不等式是解答本題的關(guān)鍵．