Question

7．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂有共同的左右焦點F₁，F(xiàn)₂，兩曲線的離心率之積e₁•e₂=1，D是兩曲線在第一象限的交點，則F₁D：F₂D=$\frac{2{a}^{2}}{^{2}}$-1（用a，b表示）

Answer 1

分析 設(shè)橢圓與雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{A}^{2}}-\frac{{Y}^{2}}{{B}^{2}}=1$（A＞0，B＞0）的半焦距為c，PF₁=m，PF₂=n，利用橢圓、雙曲線的定義，結(jié)合e₁•e₂=1可得aA=c²，即DF₂垂直于x軸，D（c，$\frac{^{2}}{a}$）．

解答 解：設(shè)雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{A}^{2}}-\frac{{Y}^{2}}{{B}^{2}}=1$（A＞0，B＞0），
橢圓與雙曲線的半焦距為c，PF₁=m，PF₂=n．∴m+n=2a，m-n=2A．
∵e₁e₂=1，∵$\frac{c}{a}•\frac{c}{A}=1$．
⇒m²=n²+4c²⇒DF₂垂直于x軸⇒D（c，$\frac{^{2}}{a}$）⇒DF₂=$\frac{^{2}}{a}$，DF₁=2a-$\frac{^{2}}{a}$，則F₁D：F₂D=$\frac{2{a}^{2}}{^{2}}-1$．
故答案為：$\frac{2{a}^{2}}{^{2}}-1$

點評 本題考查了橢圓、雙曲線的離心率，屬于中檔題．