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設函數h（x）=x|x|+mx+n給出下列四個命題：
①當m=0時，h（x）=0只有一個實數根；
②當n=0時，y=h（x）為偶函數；
③函數y=h（x）圖象關于點（0，n）對稱；
④當m≠0，n≠0時，方程h（x）=0有兩個不等實根．
上述命題中，所有正確命題的個數是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】分析：①可根據h（x）在R上單調性和值域確定h（x）=0只有一個實數根正確；
②當n=0時，h（x）=x|x|+mx，再由函數奇偶性的定義可判斷為奇函數；
③分別表示出h（x）與h（-x），然后相加得到h（x）+h（-x）=x|x|+mx+n+（-x|-x|-mx+n）=2n，即可得到函數y=h（x）圖象關于點（0，n）對稱，從而看判斷正誤；
④令m＞0，n＞0，然后畫出函數h（x）的圖象可判斷方程h（x）=0有兩個不等實根不正確．
解答：解：當m=0時，h（x）=函數h（x）在R上單調遞增，且值域為R，
故h（x）=0只有一個實數根正確，即①正確；
當n=0時，函數h（x）=x|x|+mx+n=x|x|+mx，所以h（-x）=-x|-x|-mx=-h（x）
∴函數h（x）為奇函數，②不正確；
∵h（x）=x|x|+mx+n，h（-x）=-x|-x|-mx+n
∴h（x）+h（-x）=x|x|+mx+n+（-x|-x|-mx+n）=2n
∴函數y=h（x）圖象關于點（0，n）對稱，故③正確；
當m＞0，n＞0時，h（x）=2+mx+n，x≥0-x2+mx+n，x＜0，圖象如圖
h（x）=0只有1個實根，④不正確．
故選C．
點評：本土主要考查二次函數的圖象和性質，考查二次函數的根的個數的判定和對稱性．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=alnx，g（x）=
12
x2．
（1）記h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）記g'（x）為g（x）的導函數，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求實數a的取值范圍；
（3）若a=1，對任意的x1＞x2＞0，不等式m[g（x1）-g（x2）]＞x1f（x1）-x2f（x2）恒成立．求m（m∈Z，m≤1）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

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（1）求證：{a（n，2）}是等差數列；
（2）求證：f（n，1）+f（n，2）+…+f（n，n）=22n-1+
12
C2nn-1；
（3）設函數H（x）=f（n，1）x+f（n，2）x2+…+f（n，2n）x2n，試比較H（x）-H（a）與2n（1+a）2n-1（x-a）的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數h（x）=x2，φ（x）=2elnx（e為自然對數的底）．
（1）求函數F（x）=h（x）-φ（x）的極值；
（2）若存在常數k和b，使得函數f（x）和g（x）對其定義域內的任意實數x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為函數f（x）和g（x）的“隔離直線”．試問：函數h（x）和φ（x）是否存在“隔離直線”？若存在，求出“隔離直線”方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設函數h（x）=x2，φ（x）=2elnx（e為自然對數的底）．
（1）求函數F（x）=h（x）-φ（x）的極值；
（2）若存在常數k和b，使得函數f（x）和g（x）對其定義域內的任意實數x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為函數f（x）和g（x）的“隔離直線”．試問：函數h（x）和φ（x）是否存在“隔離直線”？若存在，求出“隔離直線”方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2010年河北省保定一中高考數學押題卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設函數h（x）=x2，φ（x）=2elnx（e為自然對數的底）．
（1）求函數F（x）=h（x）-φ（x）的極值；
（2）若存在常數k和b，使得函數f（x）和g（x）對其定義域內的任意實數x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為函數f（x）和g（x）的“隔離直線”．試問：函數h（x）和φ（x）是否存在“隔離直線”？若存在，求出“隔離直線”方程；若不存在，請說明理由．

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