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設是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②函數的導數滿足.”

（Ⅰ）判斷函數是否是集合中的元素，并說明理由

（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質：“若的定義域為，則對于任意，都存在，使得等式成立”，試用這一性質證明：方程只有一個實數根

解：（Ⅰ）因為，                    

所以，滿足條件，             

又因為當時，，所以方程有實數根.

所以函數是集合中的元素.           

（Ⅱ）假設方程存在兩個實數根（），

則，，                      

不妨設，根據題意存在實數，

使得等式成立，            

因為，所以，

與已知矛盾，所以方程只有一個實數根

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科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．”
（Ⅰ）判斷函數f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x，判斷g（x）的單調性（f（x）∈M）；
（Ⅲ）設x1＜x2，證明：0＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f'（x）滿足0＜f'（x）＜1．”
（1）判斷函數f(x)=
x
3
+
cosx
4
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（2）集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]30D，都存在-15P[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，試用這一性質證明：方程f（x）-x=0只有一個實數根；
（3）設
1
5
是方程f（x）-x=0的實數根，求證：對于f（x）定義域中任意的x2，x3，當|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時，|f（x3）-f（x2）|＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根； ②函數f（x）的導數f'（x）滿足0＜f'（x）＜1．”
（I）判斷函數f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，試用這一性質證明：方程f（x）-x=0只有一個實數根．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：①方程f（x）-x=0有實根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．
（1）若函數f（x）為集合M中的任意一個元素，證明：方程f（x）-x=0只有一個實根；
（2）判斷函數g（x）=
x
2
-
lnx
2
+3(x＞1)是否是集合M中的元素，并說明理由；
（3）設函數f（x）為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意α，β，證明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

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